ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ

1.     Введение

В естествознании научная работа требует глубокого сосредоточения в исследованиях, что обычно достигается абстрагированием при помощи аппарата математики. Ведь, именно удачное использование математических абстракций позволяет оградить ученого от второстепенных ничего незначащих нюансов в исследовательском процессе, и одновременно с этим получить результат, который, с одной стороны, точно раскрывает  разрешение поставленной проблемы, и, с другой, настолько очевиден, что не требует дополнительных комментариев в доказательстве. Общеизвестно, что если какое либо явление приравнивается закону, то его абстрактный образ, как отмечал Дирак «должен обладать математической красотой». Однако практика научных исследований показала, что далеко не всегда удается отыскать математические образы, которые в естественной науке достаточно «удачно»  отображают действительность. В то же время следует учитывать, что природа весьма гармонично устроена и в математике ее образы присутствуют обязательно, только, их поиск существенно затруднен.

Увлекаясь поиском, именно, таких образов, некоторые исследователи [1]  в двадцатом веке отнесли теорию информации к математической дисциплине, тем самым, поставили предметом исследований математики «информацию», что автоматически исключает ее из «поля зрения» исследователя  свойствами, присущими естественной науке. А, ведь, любая информация имеет свои «корни», прежде всего, в окружающей среде – в неоднородности распределения материи в пространстве и во времени, и уже, потом, в процессе ее осмысления приобретает отвлеченную от природы абстракцию, в рассматриваемом случае математическую. И это, в конечном итоге, может привести  к отрицательному эффекту – потере ожидаемого природного содержимого в полученном результате, т.е., когда придуманная математическая абстракция, в лучшем случае, «затуманивает» его природную связь, и в худшем – уж никак не отражает материальный мир.

Следует также заметить, что, если в математике можно найти абстрактное отражение неоднородности распределения материи, то, далеко, не каждая  формула в математике, не каждый в ней абстрактный образ имеет свой оригинал в природе. В настоящей работе попытаемся поставить в соответствие некоторые абстракции вычислительной математики, адекватно отображаемые на информационные процессы, которые изучает естественная наука.  

2. Идеализация и «заземление» в научных исследованиях

В наших исследованиях будем исходить из того, что математика, как вид деятельности человека не относится к естественной науке. Просто ее следует рассматривать дисциплиной, обеспечивающей методами познания любую естественную науку. Кроме того, заметим, что включение, каких-либо естественных исследований в раздел математики тоже может, привести к сомнительным результатам. Самое неприятное то, что с приведенным выше утверждением далеко не все участники познания, связанные с регистрацией, транспортировкой, хранением и обработкой информации, согласны. Такая ситуация сложилась не только в кругу рядовых тружеников естественной науки, но также и у ее авторитетов.

Приведем несколько примеров. Д. Гильберт среди списка 23-х проблем, которые следовало бы разрешить математикам в двадцатом веке, поместил под номером 6, с его точки зрения, математическую проблему. Для ее разрешения необходимо «математически обосновать аксиомы физики», обозначаемые в естествознании постулатами. И, как потом оказалось [2], они должны совпадать еще и с законами природы, а сама их система является открытой, т.е. по мере познания природы она пополняется новыми постулатами-законами. В тоже время, в попытках разрешения этой проблемы Гильберт, а он посвятил этому не менее тридцати лет своей жизни, отделил от математики теорию вероятностей и «пришил» ее к естественным наукам. Таким образом, он связал решение своей шестой проблемы «c аксиоматическим построением теории вероятностей» [3]. То есть, как утверждает Б.В. Гнеденко в той же [3], «для Гильберта теория вероятностей является главой физики, в которой математические методы играют выдающуюся роль».

Следует заметить, что, «не уходя» далеко от разрешения рассматриваемой шестой проблемы известный академик А.Н. Колмогоров, тоже видел в теории вероятностей естественную науку. В результате, под влиянием его авторитета большая часть славянских ученых, по-другому и не могла рассматривать этот раздел математики.  Такое «свободное» понимание теории вероятностей весьма часто  приводит к бесконтрольному проникновению в естественные науки математических абстракций, которые становятся тормозом в исследованиях.

Включение теории вероятностей в разряд естественных наук прослеживается на примере теории информации и теории алгоритмов. Начальные шаги в этом направлении можно заметить еще в первой половине двадцатого столетия, и, конечно, как уже утверждалось, они тесно связанны с отмеченной шестой проблемой Д. Гильберта. Ведь именно эта проблема, а вместе с ней и вторая, из предложенного ряда 23-х проблем, затрагивает фундаментальные положения в обработке информации – а именно создание аппаратурных средств, позволяющих выполнять любую обработку информации, т.е. удовлетворять ее алгоритмической универсальности. Вот почему разрешением этих двух проблем заинтересовались ученые, которые свою научную судьбу тесно связали с теоретическими аспектами обработки информации. Так, пытаясь разрешить вторую проблему Д. Гильберта, будущая  известность в Computer science Ален Тьюринг разработал универсальную алгоритмическую систему, которая в последствии стала называться Машиной Тьюринга. Математический образ этой машины у теоретиков средств обработки информации занял  весомое место, которое не всегда   компьютерной науке (Computer science) приносило пользу. Так, ориентируясь в своих рассуждениях на примитивные абстрактные операции этой машины, теоретики приходили к весьма спорным результатам при оценке сложности алгоритмов, количеству операций необходимых для их реализации. Частично эти проблемы в теории информации рассмотрены в [4].

Среди первых ученых, кто начал разработку теории, позволяющей решать проблемы, передачи и сохранения информации были Х. Найквист (1924 г.), Р. Хартли (1928 г.) и К. Шеннон (1948 г.). Правда, до них, еще в 1921 году Р. Фишер попытался измерять и оценивать количество информации, так необходимых для развития теории информации. У этих первопроходцев попытки в изучении рассматриваемого природного явления тесно связывались с теорией вероятностей. Ведь получение информации они отождествляли только с раскрытием неопределенности об исследуемом объекте, т.е. с вероятностными ее оценками. К. Шеннон, разделяя мысль о том, что информационные процессы связаны с природными явлениями, и видел в теории вероятностей тоже проявление природы. Иными словами он относил теорию вероятностей к естественной науке, т.е. случайность он рассматривал, как неотъемлемое свойство природы, как ее явление, и пытался это доказать на примерах. Одним из приемов поиска Шенноном такого доказательства можно рассматривать исследование работы, созданной им машины, в режиме отгадывания задуманного человеком положения монеты – «орел» или  «решка».  Машина отгадывала с вероятностью, превышающей 50%, а это  противоречит теории вероятностей, из чего он сделал вывод, что человек  никак не может избежать каких либо закономерностей, которые машина, распознавая их, использует в предсказывании его поведения. В результате этих исследований Шеннон так и не обнаружил явления, которое соответствовало бы абстрактной модели случайного события.

Второй прием в поисках доказательства того, что случайные события следует относить к явлениям природы, судя по всему, связан с изучением циркового жонглирования, которым он занимался до конца своей жизни. И в данном случае искомое явление не удалось обнаружить, несмотря на то, что К.Шеннон, как математик, очень тщательно исследовал этот цирковой прием, благодаря чему ему удалось доказать закономерность в виде  уникальной  теоремы жонглирования:

(F + D) H = (V + D) N,

 где F – время свободного полета шарика, D – время его нахождения в руке, V – время, пока руки свободны, N – число шаров, H – количество рук.

Анализ научных исследований в теории информации и теории вероятностей в разных научных кругах, попеременно, относились и относятся, то к естественным наукам, а то к математическим дисциплинам, и причиной тому, кроме всего, является мировоззрение ученых, составляющих эти круги. Если материалистическое мировоззрение является следствием «заземленной» практической деятельности человека, то ему противоположное, называемое идеалистическим, исходит из его идеализации, граничащей с уходом исследователя в мир далекий от действительности. В теории информации эта идеализация, весьма, популярна и, часто, «роднится» с абсолютизацией в исследованиях методами математики, которая, как  уже отмечалось, играет важнейшую, и положительную, и отрицательную роль в познании природы.

Отрицательное ее влияние можно наблюдать, если исследователь-математик оказывается в положении известного мифического героя Пигмалиона, который, изваяв из слоновой кости женскую фигуру, безумно влюбляется в нее, и с «позволения» царицы Афродиты женится на ней.   Так, и математик, придумав очень красивую формулу, может тоже «влюбиться», но только уже в эту формулу, присваивая ее свойства физическому явлению, никак не  отражающие действительность, и безумно верит в такое свое «открытие». Более того, эта вера передается научному сообществу и существует до тех пор, пока на наглядных примерах не становится очевидным ее абсурдность. Примером тому является известная формула всемирного тяготения И. Ньютона, ошибочность которой более подробно рассмотрена в [5, 6].

3. Образы вычислительной математики в теории информации

Многолетний опыт сформировал перечень вычислительных задач, которые приходится решать на современных компьютерах. Они представляют набор математических абстракций, о которых шла речь в предыдущих подразделах, и часть из них имеют свои отображения на аналогичное множество, но уже в пространственно-временных структурах материи, рассматриваемых теорией информации.

В [7] показано, что любая информация может быть представлена в виде суммы данных и знаний. Так называемая эмерджентная информация, т. е. знания, появляется у пользователя, как нечто, характеризующее неоднородность распределения материи, которое объединяет данные  в единое смысловое содержание.  В вычислительной математике эти знания идентифицируются  с функциональной зависимостью от  одной либо множества переменных. Рассматриваемая идентификация, например, производится путем нахождения функции, значения которой совпадают с упорядоченными данными на фиксированном интервале их следования (изменения). Если предполагаемая функция является полиномом, то ее определение в вычислительной математике относят к задаче интерполирования. В общем случае этот класс задач вычислительной математики принадлежит интерполированию и приближения функций.

В случае если для более точного математического представления неоднородности распределения материи потребуются не одна переменная, то тогда возникают задачи, которые в вычислительной математике относят к решению систем уравнений. В подавляющем большинстве они представляют нелинейные зависимости, и для своего решения требуют так называемой линеаризации, в частности, сведения их к системам линейных алгебраических уравнений. Иногда пользователю представляется возможным оценить некоторые свойства, рассматриваемых систем линейных уравнений, и тогда он анализирует свойства матрицы, соответствующе этой системе. В этом случае в вычислительной математике имеется раздел посвященный так называемой обработке матриц –  вычислению собственных значений и собственных векторов матриц.

При исследовании материальной системы, заданной функциональной зависимостью, пользователь может использовать ее сечение другой известной ему функцией в интересующих его точках. Для этого в вычислительной математике имеются средства исследования функций, к которым, в частности, относятся так называемые минимаксные задачи.

Безусловно, поиски функциональной зависимости, соответствующей  упорядоченному набору данных, касается не только их значений относительно трехмерного пространства, но и изменениям во времени, и тогда пользователя может заинтересовать анализ особенностей найденной функции – ее свойств, ее характеристик. Оказалось, что, если функция, эмерджентно отражающая набор исходный данных, в качестве переменной использует скорость изменения движения, то тогда ее интеграл, по такой переменной совпадает со скалярной характеристикой  физики материи, как энергия. В качестве примера использования неопределенного интеграла,  рассматриваемой функции движения материи, в  [4,6,8] выводится функция зависимости энергии от массы тела (так называемой эквивалентности массы и энергии по А.Эйнштейну –   E=mc2). Основываясь на, приведенной выше новой взаимосвязи движения тела и его массы, в этом выводе показано,  что в эйнштейновской формуле недостает еще одного слагаемого – константы интегрирования, которая в природе отражает наведение в рассматриваемой массе тела энергетической составляющей от полей внешних источников. Кроме того, скорость c  движения массы не совпадает со скоростью света – физическое ее содержание совсем иное.

Если функцию движения тела, зависящей от скорости ее изменения, продифференцировать  по этой же переменной, то получим  векторную характеристику движения тела, которая совпадает с физической силой. Процедура ее нахождения приведена в [8]. Напомним, что в вычислительной математике, рассмотренным выше поискам в физике характеристикам материи энергии и силы, соответствуют задачи интегрирования и дифференцирования.

Исследование информации тесно связано с тем, каким образом она появляется в распоряжении пользователя. Информация может поступать непосредственно от ее источника, например, от действующей звезды (Солнца), от горящей свечи или иного источника, формирующего новую неоднородность существования материи. Рассматриваемая неоднородность может также формироваться не только природным естественным путем, но и искусственно живой материей, его инструментом, в том числе и любой кибернетической системой. В случае искусственного происхождения рассматриваемой неоднородности она отражает принципиально новую структуру материального распределения в пространстве и во времени.

В то же время, создаваемая неоднородность распределения материи может копировать иное материальное образование. Тогда в качестве копии выступает, например, макет самолета, письменное его описание в произвольном языке, фотография объекта и другие возможности повторения неоднородностей материального распределения. В данном случае стоит задача  получения копии, как можно лучше, отображающей интересующей пользователя оригинал. Ее аналог в вычислительной математике соответствует задачи экстраполирования.

Исходя из того, что материя в природе существует не только в трехмерном пространстве, но еще и во времени, экстраполирование можно рассматривать и как предвидение поведения изучаемого материального явления. Некоторые из них имеют однозначное и точное свое продолжение, и тогда в практике человеческой деятельности такие явления стали относить к законам природы. Если эти явления имеют ощутимую продолжительность и, как правило, содержат в себе следование совокупности указанных законов, то такая их последовательность характеризуется причинно-следственным механизмом.

Если информация поступает от произвольного источника – той же звезды, движущегося самолета, передающей антенны, обработки q-бита, то  возникает проблема выделение полезной, рабочей информации на фоне естественных помех, и которая весьма часто представляет собой трудноразрешимую задачу. Практика показала, что для этих случаев не всегда задачи вычислительной математики готовы помочь пользователю, и, тогда, оказывается, недостаточно знаний, которые на данный момент отсутствуют в науке и их необходимо еще добыть. Особенно это касается выделения рабочей информации на фоне помех, соизмеримых с энергетическими затратами  манипулирования q-битом в процессе его обработки в квантовом компьютере.

4. Выводы

В настоящей работе обращается внимание читателя на неадекватное закону познания природы понимание такой дисциплины в математике как теория вероятностей и научного направления в естествознании – теории  информации. Оба эти направления в научной деятельности должны соответствовать требованиям, которые им предъявляет, с одной стороны, математика и, с другой, естествознание. Рассмотрены попытки известных ученых обосновать теорию вероятностей, как науку в естествознании, а теорию информации использовать, как раздел  математики. Такое свободное понимание научной деятельности в истории имело отрицательное влияние на решении проблем. Так, включение шестой проблемы Гильбертом в проблематику математики на многие годы увело внимание ученых в естествознании на ее разрешение. В равной степени это касается и разрешение алгоритмических проблем в теории информации. В частности это относится к оценке сложности алгоритма, а также количественного показателя в выполнении им операций. В статье поставлены в соответствие задачи, возникающие при обработке информации, абстрактным задачам вычислительной математики. Показано что причинно-следственный механизм, отражающий явление природы, в математике относится к задаче экстраполяции.

Список литературы:

1.   Яглом А.М. Вероятность и информация / А.М. Яглом, И.М. Яглом. – М.: Наука, гл. ред. Физ.-мат. литературы,   1973.

2.   Вышинский В.А. Новая система постулатов (аксиом) – решение шестой проблемы Гильберта / В.А. Вышинский// «Единый всероссийский научный вестник» 2016, №2 часть – С. 29-35.

3.   Проблемы Гильберта, Сборник под общей редакцией П.С.Александрова, изд. «Наука», М:, 1969, 237 с.

4.   Вышинский В.А. Предмет и метод исследований кибернетики (SUBJECT AND METHOD OF RESEARCH OF CYBERNETICS)/ В.А. Вышинский// Sciences of Europe (Praha, Czech Republic) 2018, VOL 2, № 29, p.46-53

5.   Вышинский В.А. Кризис современной теоретической физики / В.А. Вышинский // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах, – 2017 . – №3. – С. 39-50

6.   Вышинский В.А. Личный сайт https://www.vva.kiev.ua/

7.   Вышинский В.А. Фотон – минимальная обрабатываемая единица информации в вещественной природе (PHOTON - THE MINIMUM PROCESSED UNIT OF INFORMATION IN MATERIAL NATURE) / В.А. Вышинский// Scientific Light (Wroclaw, Poland) VOL 1, No 36 (2020), C. 22-26

8.   Вышинский В.А. Скалярная и векторная характеристики движения вещества/ В.А. Вышинский // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах, – 2015 . – №3. – С. 12-22

 

 

 

 

 

 

 

Работает на Drupal, система с открытым исходным кодом.